这个我也是从另一个地方直接贴过来的，挺详细的。若还有哪里不懂的话再提出来吧。这个符号“a^2”是指a的平方。
- {8 s% ?2 y( e4 M& w' c9 `惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州
' X2 }( r% O$ f
/ Q* R& l0 z/ n: z⑴提公因式法
3 A1 [) I4 n8 s4 y①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
2 T/ j) y! T1 E f: Q9 ^' }惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐论坛( S8 n7 ?3 O `7 l3 Q" @" d
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。惠州乐乐论坛& s7 o6 T3 o! U5 A4 Y
' B; J7 @/ W! D$ s, ^* ham＋bm＋cm＝m（a+b+c） 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州& @: I2 I& o; ?/ W4 q( I
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③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州2 Y" \, _* @5 \6 N* d
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⑵运用公式法
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. ^8 R+ a( K, f+ S5 i7 I" T! Q, R①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) 惠州乐乐论坛# C0 R2 l& } q7 \3 @+ W
* Y. @& r* @2 q4 o: C" Fwww.hzyes.com②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州: H7 @% w1 ]; i4 e0 p# b% P1 F, d
9 m9 Z6 ^6 N' z0 lwww.hzyes.com※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州5 w3 i6 V; c8 z& a" P
惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州3 k$ Z, P4 }6 ]6 M2 I- |( \
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州2 G- y( _- w# ]( |8 g9 D
惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州3 P1 G- O2 b/ U! x* X
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
( D1 U$ B4 {3 a: j' m: H2 z7 t' b; C3 P! k! g
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
& I9 z0 e6 w9 D. L% {惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州' X1 f s/ b+ a6 F3 c s' [
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]4 u: N4 X& D. U7 Y1 [6 d- N
6 z9 y. o$ B+ o1 }* o, b惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)www.hzyes.com! a1 i2 r* T: h9 w1 y; n7 Y
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⑶分组分解法 www.hzyes.com0 \) D' m$ k& M* g7 n! \# t+ s
9 Q/ j. @5 O1 H1 Q' X8 f" h惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州" r* x; E1 o; ~' Y# ]" X
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分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州; Q* F* ^* d! S
2 i3 R) M3 W1 I. G⑷拆项、补项法 8 ^1 G3 l; r4 @1 T$ n/ U
& o) @' h9 o$ F `www.hzyes.com拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
8 q# Y& [8 r: M* f$ w惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州& ]7 z' d: t; U
⑸十字相乘法
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①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 7 j% {+ q: M( `. r
惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州2 F* E" P1 Z" }4 e; H
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
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②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 2 k1 B6 g, ]) B* d# \2 R t
惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州) A, F' t% H, H& B! i
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么
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kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
2 h0 p* @5 o$ ^9 a4 ~惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐论坛" Q% ^8 V) K7 n8 u2 ^
a \-----/b ac＝k bd＝n
/ J! V) A4 n2 m; T: J7 F) f惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐论坛7 s) J. ^; \5 Z9 i* l. c1 j- {
c /-----\d ad＋bc＝m
( W: u3 O$ ^1 E, E ]% g# _惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州
; M7 i8 N% \! Z3 q. u1 [惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州※ 多项式因式分解的一般步骤：
, B% y s) J& e% h( l, s: t( u惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州2 Y- H: D9 I( M" W. g6 q- z) l
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； www.hzyes.com- a* j3 J% ?$ x) E) a
www.hzyes.com- w* o0 V6 S4 I: m6 G- n; y7 [
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4 K, N2 C/ P' g% l0 L# p1 d! A# U$ _惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州% O7 D, a1 H/ r% |+ g
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
- k+ V& w: y8 q惠州乐乐论坛惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州+ f# C1 I3 g, W$ N: ~
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。4 E, {6 I l: Y# _* l+ C* M
www.hzyes.com- N% X E/ P0 j- l3 z- ]
(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。www.hzyes.com+ U3 e0 f: T; \) V
' k+ Q" O5 g( v; f: [7 {惠州乐乐论坛经典例题：
0 d) Q& L* [1 r- I0 J惠州乐乐论坛www.hzyes.com3 @$ w" q4 L& p$ s" r" I" n
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2* `( m! A- x/ {: q: b+ E1 I
/ Y1 E4 |' f7 n# }
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)% B) G6 Z. ^' Q- X6 Y! {) }$ t
惠州乐乐论坛0 e* ` a9 a/ y* O
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)www.hzyes.com6 Q9 y$ t6 ^% w1 G1 ~+ u. b4 I
0 }) J& C+ z. K: i$ c+ U: |, W=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
c! T. f: {% w# P惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州. Z& F1 W3 @: ~0 G" g: }
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]2 X4 D1 A g n2 X4 C9 Z: j: z2 c
惠州乐乐论坛4 O2 h5 D. Z; f6 f+ z
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)( O/ C$ |. D/ ~6 c
7 c; U' Y3 _% b2 E( Wwww.hzyes.com=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
1 `* Q. {* f5 S# ]+ l惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐论坛6 }0 D0 o, v; {1 c9 \' m% o
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)惠州乐乐论坛7 s. _ B) J0 s# F9 G; d4 B- N
惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州+ r! r: Z/ i* c9 m- t( X. A) h4 E
2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为334 U' q" [, }. n9 n# V# ]% m
. N6 u( ?1 z) s惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
- y0 L% N$ Q7 W; e5 B9 Y. V惠州乐乐论坛
# X: U i) [$ p* Y$ R) y惠州乐乐论坛解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
. y8 n2 O/ [& D: |, `! O# Q惠州乐乐论坛www.hzyes.com: l6 ~$ s% y0 n2 {
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)惠州乐乐论坛: e- O* y& j7 q( h0 W, J5 m$ C; r& W E
0 N* w2 n" s$ A% i: i# l3 D# f
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)惠州乐乐论坛6 b& y7 @/ |- x6 e; L$ T8 X
9 @2 ], ~# P! ?) O0 B惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
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4 X/ [; c) [5 [: b& E% K$ Zwww.hzyes.com=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)3 q4 b( e; V, T, g( l6 t
www.hzyes.com4 Q& r8 O Z% f; d
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立惠州乐乐论坛9 x( n+ h* L( } X/ H f" N
因式分解的十二种方法
2 G1 {4 E; H0 m惠州乐乐论坛把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
2 ?: H2 I0 O0 K1 f惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州1、 提公因法 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州4 I/ \# S2 ~4 u4 q( ?) m3 r; ^: ]
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 " [* G2 }4 y- \; a+ b/ G" n, G( A
例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) www.hzyes.com' ?# L' t0 A) ~0 s' l6 L1 |
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州# {( f) y+ D0 t; }, N6 Z) g
2、 应用公式法 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州- h( v ~1 {; [
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 4 w. }/ m4 L" U% _4 A( |! E8 s) h, V$ M
例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) www.hzyes.com$ _/ C9 u$ o0 T- h
解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b）
/ M) l1 A, c3 k3 M/ \- W3、 分组分解法 www.hzyes.com1 a( X+ q, ^6 t1 x7 \: {
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
/ G1 F7 p- F+ S* w. ]: J! t. m3 `) d惠州乐乐论坛例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m
/ W% D$ Q! ^; g& j. U惠州乐乐论坛解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n
# [0 @0 c( z, C= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
, L4 {5 {2 x3 K7 m6 m9 S=m(m-5)-n(m-5)
" F7 z" _' j5 O+ L惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州=(m-5)(m-n) ! u- O* x1 s/ R7 e' ?/ @
4、 十字相乘法 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州6 s* f8 J B4 L2 J0 Q. D
对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 惠州乐乐论坛" o: ]2 ]. H, c: n( F4 f, E
例4、分解因式7x^2 -19x-6 " m9 N8 z6 u% `7 o$ c
分析： www.hzyes.com6 z' i' Y: M/ ~' U$ X% ^
1 -3
5 a! `" f7 p' ] l3 k& r8 c惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州7 2 7 q' R3 B- {7 E% L( ~# @
2-21=-19 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州3 v# W' K6 `1 O" [& b# m
解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3)
2 }) B( V5 k6 s惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州5、配方法 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州2 N: `' C1 C0 q% U5 y* X: Q
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 www.hzyes.com9 W J! U, I8 X" C) a4 a
例5、分解因式x^2 +3x-40 # z! T2 H8 c3 f1 U
解x^2 +3x-40惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州7 ]! L' ?6 `' a# T. @
=x^2+3x+2.25-42.253 ?7 y2 P9 {! _: w
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
* `2 q5 n' ]/ z4 Y) N惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州=(x+8)(x-5)惠州乐乐论坛7 @3 z, [/ z3 G8 u( |7 q c1 o" e( l
6、拆、添项法
/ D4 C$ o2 C, v4 Z) \惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
! y* \0 {) n0 [: o9 H1 R% q) K惠州乐乐论坛例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州4 U0 ~3 ?: p! ~/ {! _
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州" @" N( A# f: v/ h% }# n. z
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) ; q. k5 Q( N! x b! |6 {8 L
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) www.hzyes.com* `% ~5 X$ D. U- Q5 C
=(c+b)(c-a)(a+b)
% i/ z' T2 T5 h0 q% D/ J7、 换元法
, A/ d/ F3 W/ J有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
/ ?: G& y- T& x& b$ ^' L例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2
4 q7 F( `- e$ ?6 W惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州www.hzyes.com! ^4 ]) T- r5 i6 s j
8、 求根法
# a) B8 e3 O! A惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
. v( P( N, p3 [5 a' M3 X0 R例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6
) ~0 t& q7 G3 ^. B& |; {: a6 f& T; o惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州( _3 O8 _8 Z( [9 _0 S0 j) v9 U4 w! f
通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1
( i& @8 w8 _, R3 d! V2 c2 a. A: m惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州+ i! `7 }& q2 d1 B! T; x/ `9 \
9、 图像法 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州. t: }( q1 k2 A3 K m9 G, F
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
1 G* m0 X3 h5 Q2 b. Z5 Q惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 惠州乐乐论坛) p- O& O( [$ h" Q: {
解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 www.hzyes.com9 H+ U* e( V7 ?' I+ z# X- q
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
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% A7 `5 V& S: g0 F* c6 N- W惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州10、 主元法 * s6 g( x9 H ^, d& x8 R
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
/ ~* f( q4 _; _! ]惠州乐乐论坛例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
9 Z; f, q# u9 m2 b$ v惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 3 x2 T/ Q9 q: k% V* J) @" j
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
( O& \) B: a6 K x) W" q/ fwww.hzyes.com=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
6 K+ e$ `, T3 y, \) A2 i惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州=(b-c)(a-b)(a-c)
! p! ~' q: Q5 _1 q' _惠州乐乐论坛11、 利用特殊值法
" a4 N6 d i- k; I; ]惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
0 H# J/ s4 X# Y. i例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15
$ t. P' i0 R1 ~' P惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 惠州乐乐论坛. v) g3 g+ P& l* h, U& i+ f
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州( m# K n/ _" c3 [
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
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) { J3 f: {6 K. v: f( g$ y惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州12、待定系数法
3 Z/ @7 V, Q7 ]2 \5 [. d7 V$ U惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
8 J+ g" u) ^( Q% p+ N( R9 R惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 : Z: p! n/ I5 Z: i. n
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 惠州乐乐论坛$ G- S* S! q' e# I
解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) 惠州乐乐论坛 \) v( u r* i2 v! \( D
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd www.hzyes.com% ?, v# d, u: T( v
所以 解得 惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州. \1 \/ R: C3 c U% t
则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
) y, F- m( K) p. U: J3 u+ s* T惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州初学因式分解的“四个注意”/ U& m( E3 H& n
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。
5 @* I J' Q5 J惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州' i7 L0 `$ y3 S
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州( l3 O! P" {4 G8 b6 U/ c( n
- N8 g! H6 A/ s, O5 {, y: s 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州: Y0 e$ X( I8 L1 R& u
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解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
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这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?www.hzyes.com1 e& H& x& A$ x- i
如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。
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分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
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证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
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- x' F$ @: U& P( T/ y: v惠州乐乐论坛 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州$ R2 ^$ \" t" T8 t3 N4 r
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即a＝c，△abc为等腰三角形。
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例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州5 L# p" n$ A! L0 ?! q
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这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。
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解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州( c4 m) v" ~) N. |$ e! ^! _
V/ s3 b+ l. @, ?. v惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
$ U3 N+ i8 S8 M/ Y: b1 Q) y惠州乐乐|惠州YES|惠州论坛|惠州新闻|惠州一线|Hzyes|乐乐论坛|惠州学生|惠州学校|惠州校园|惠州信息|惠州中学|惠州潮流|惠州惠州乐乐论坛5 p9 L' z4 s& z* |( M/ R
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。
